در این مقاله پس از معرفی فرآیند تجدید بویژه فرآیندهای پواسن همگن و ناهمگن و نیز معرفی مدل های Kijima، تابع هزینه برای برخی از مدل های آماری نظیر توزیع ارلنگ، وایبل و نمایی به دست می آید، سپس با استفاده از تابع نرخ شکست و تابع هزینه بهترین تابع چگالی احتمال برای طول عمر تعویض های متوالی ارلنگ و وایبل، معرفی می شود به نحوی که تابع هزینه به ازای آنها بهینه شود. در بررسی توزیع وایبل چند معادله با هدف بهینه کردن هزینه حاصل می شود که باید با روش های عددی آنها را حل کرد.